Vorwort Teil I: Grundlagen 1 Modelle und ihre Anwendung 1.1 Modelle sind überall 1.2 Modelle in der Wissenschaft 1.3 Mathematische Modelle - ein Ausflug 1.3.1 Wohin wollen wir fahren? 1.3.2 Wann ist das Wetter günstig? 1.3.3 Wo kommt unser Auto her? 1.3.4 Wie finden wir den Weg? 1.3.5 Wie wird der Verkehr geregelt? 2 Modellierung des Freiwurfs beim Basketball 2.1 Erstes Modell: Der beste Abwurfwinkel 2.1.1 Analyse des Anwendungsproblems 2.1.2 Herleitung eines mathematischen Modells 2.1.3 Lösen des mathematischen Problems: Implementierung und Simulation 2.1.4 Interpretation der Ergebnisse und Verfeinerung des Modells 2.2 Zweites Modell: Die beste Wurfbahn 2.2.1 Analyse der Problems: Bestimmung des zulässigen Gebietes 2.2.2 Mathematisches Modell: Mehrzieloptimierung 2.2.3 Lösung, Auswertung und Interpretation 2.2.4 Analyse der Ergebnisse 2.3 Aufgaben 3 Methodik der mathematischen Modellierung 3.1 Modellierungszyklus 3.2 Analyse des Anwendungsproblems 3.2.1 Präzisierung der Fragestellung 3.2.2 Annahmen 3.3 Modellbildung 3.3.1 System- und Modellparameter 3.3.2 Zustandsgrößen und gesuchte Größen 3.3.3 Nebenbedingungen und bekannte Gesetzmäßigkeiten 3.3.4 Formulierung einer mathematischen Aufgabenstellung 3.4 Mathematische Analyse des Modells 3.5 Computergestützte Berechnungen und Simulationen 3.6 Interpretation und Validierung 3.6.1 Validierung der Berechnung der Lösung 3.6.2 Interpretation der Ergebnisse und Validierung des Modells 3.7 Modelltypen - Modellklassifikation 3.7.1 Mathematische Strukturen und Methoden 3.7.2 Gruppierung nach Phänomenen 3.7.3 Modellierungsziele 3.7.4 Beschreibungsebene 3.8 Aufgaben Teil II: Werkzeuge 4 Prinzipien zur Formulierung eines Modells 4.1 Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen 4.1.1 Systembilanzgleichungen 4.1.2 Erhaltungsgrößen und Erhaltungssätze 4.1.3 Lokale Bilanzgleichungen 4.2 Zustände und Übergänge 4.2.1 Diskrete deterministische Übergänge 4.2.2 Stochastische Übergänge - Stochastische Prozesse 4.2.3 Zelluläre Automaten 4.2.4 Kontinuierliche Übergänge 4.3 Einmal vom Mikroskopischen zum Makroskopischen und zurück 4.3.1 Modell des idealen Gases 4.3.2 Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung 4.3.3 Random-Walk-Modell der Diffusion 4.4 Aufgaben 5 Mathematische Analyse von Modellen 5.1 Lösbarkeit 5.1.1 Lineare und nichtlineare Gleichungen 5.1.2 Differentialgleichungen 5.1.3 Inverse und schlecht gestellte Probleme 5.2 Dimensionsanalyse 5.2.1 Einheiten und Dimensionen 5.2.2 Entdimensionalisierung und Skalierung 5.2.3 Modellreduktion durch Dimensionsanalyse 5.3 Linearisierung 5.4 Störungstheorie und asymptotische Entwicklung 5.5 Stationäre Zustände, Stabilität und asymptotisches Verhalten 5.5.1 Diskrete lineare dynamische Systeme 5.5.2 Diskrete nichtlineare dynamische Systeme 5.5.3 Markov-Ketten 5.5.4 Kontinuierliche lineare dynamische Systeme 5.5.5 Kontinuierliche nichtlineare dynamische Systeme 5.6 Aufgaben 6 Berechnung, Simulation und Visualisierung 6.1 Diskrete dynamische Systeme 6.2 Kontinuierliche dynamische Systeme 6.3 Partielle Differentialgleichungen 6.3.1 Eindimensionale Konvektions-Reaktions-Gleichung 6.3.2 Dreidimensionale Transportgleichung 6.4 Aufgaben Teil III: Fallstudien 7 Informationssuche im Web: Google's PageRank 7.1 Von der Link-Struktur zum PageRank 7.2 Zufalls-Surfer und Markov-Ketten 7.3 Lösungsstrategie und Sensitivitätsanalyse 7.3.1 Berechnung des PageRanks mit der Vektoriteration 7.3.2 Konvergenzgeschwindigkeit und Wahl des Parameters alpha 7.3.3 Sensitivitätsanalyse 7.4 Berechnung des PageRank-Vektors 7.5 Diskussion und Ausblick 7.6 Aufgaben 8 Fischbestände und optimale Fangquoten 8.1 Einfache Modelle der Entwicklung von Fischbeständen 8.2 Optimale Fischfangquoten 8.3 Räuber-Beute-Modelle 8.4 Ausblick auf weitere Modelle 8.5 Aufgaben 9 Schadstoffausbreitung in einem Gewässer 9.1 Konvektion und Abbau in einem Fluss 9.2 Konvektion, Diffusion und Abbau in einem flachen See 9.3 Drei Dimensionen und andere Verallgemeinerungen 9.4 Aufgaben Skryť popis